三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPおよびBR:RQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPおよびBR:RQを求める。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。または、ベクトルの知識を用いることでも解くことができます。ここではベクトルを用いる方法で解説します。

まず、$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とします。

点Pは辺BCを3:4に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{3+4} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7}$

点Qは辺CAを2:3に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{3\vec{c}}{5}$

点Rは線分AP上にあるので、$AR : RP = s : (1-s)$ とすると、

$\vec{AR} = s\vec{AP} = s\frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7} = \frac{4s}{7}\vec{b} + \frac{3s}{7}\vec{c}$

点Rは線分BQ上にあるので、$BR : RQ = t : (1-t)$ とすると、

$\vec{AR} = \vec{AB} + t\vec{BQ} = \vec{b} + t(\vec{AQ} - \vec{AB}) = \vec{b} + t(\frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b}) = (1-t)\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$

よって、

$\frac{4s}{7} = 1 - t$

$\frac{3s}{7} = \frac{2t}{5}$

この連立方程式を解きます。

$\frac{3s}{7} = \frac{2t}{5}$ より、 $t = \frac{15s}{14}$

$\frac{4s}{7} = 1 - \frac{15s}{14}$

$\frac{8s}{14} = 1 - \frac{15s}{14}$

$8s = 14 - 15s$

$23s = 14$

$s = \frac{14}{23}$

したがって、$AR:RP = \frac{14}{23} : (1-\frac{14}{23}) = \frac{14}{23} : \frac{9}{23} = 14:9$

また、$t = \frac{15s}{14} = \frac{15}{14} \cdot \frac{14}{23} = \frac{15}{23}$

したがって、$BR:RQ = \frac{15}{23} : (1-\frac{15}{23}) = \frac{15}{23} : \frac{8}{23} = 15:8$

3. 最終的な答え

AR:RP = 14:9

BR:RQ = 15:8