三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPとBR:RQの比を求める。

## 解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとする。このとき、AR:RPとBR:RQの比を求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。または、ベクトルを用いる方法でも解ける。ここでは、ベクトルを用いる方法を示す。

$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$とする。

点Pは辺BCを3:4に内分するので、

$\vec{p} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}$

点Qは辺CAを2:3に内分するので、

$\vec{q} = \frac{3\vec{c} + 2\vec{a}}{2+3} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}$

点Rは線分AP上にあるので、$AR:RP = s:(1-s)$とすると、

$\vec{r} = (1-s)\vec{a} + s\vec{p} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{4}{7}\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{c}) = (1-s)\vec{a} + \frac{4s}{7}\vec{b} + \frac{3s}{7}\vec{c}$

点Rは線分BQ上にあるので、$BR:RQ = t:(1-t)$とすると、

$\vec{r} = (1-t)\vec{b} + t\vec{q} = t(\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}) + (1-t)\vec{b} = \frac{2t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{5}\vec{c}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$は一次独立なので、各係数を比較して、

$1-s = \frac{2t}{5}$

$\frac{4s}{7} = 1-t$

$\frac{3s}{7} = \frac{3t}{5}$

3つ目の式から、$s = \frac{7t}{5}$。これを2つ目の式に代入すると、

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7t}{5} = 1-t$

$\frac{4t}{5} = 1-t$

$\frac{9t}{5} = 1$

$t = \frac{5}{9}$

$s = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$

したがって、$AR:RP = s:(1-s) = \frac{7}{9} : \frac{2}{9} = 7:2$

$BR:RQ = t:(1-t) = \frac{5}{9} : \frac{4}{9} = 5:4$

3. 最終的な答え

AR:RP = 7:2

BR:RQ = 5:4