極方程式 $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ で表される曲線Cがある。以下の問いに答える。 (1) $3r = r\cos\theta + \boxed{1}$ より、曲線Cを直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表すと、$\boxed{2}x^2 + \boxed{3}y^2 - \boxed{4}x - \boxed{5} = 0$ となる。 (2) これを整理すると、$\frac{(x - \boxed{6}/\boxed{7})^2}{\boxed{8}} + \frac{y^2}{\boxed{9}/\boxed{10}} = \boxed{11}$ となる。よって、曲線Cは楕円である。 (3) その2つの焦点をA, Bとすると、曲線C上の点Pについて、AP + BP = $\boxed{12}/\boxed{13}$ が常に成り立ち、A, Bを直交座標で表すと、A($\boxed{14}/\boxed{15}$, 0), B($\boxed{16}/\boxed{17}$, $\boxed{18}$) である。空欄を埋める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ で表される曲線Cがある。以下の問いに答える。

(1) $3r = r\cos\theta + \boxed{1}$ より、曲線Cを直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表すと、$\boxed{2}x^2 + \boxed{3}y^2 - \boxed{4}x - \boxed{5} = 0$ となる。

(2) これを整理すると、$\frac{(x - \boxed{6}/\boxed{7})^2}{\boxed{8}} + \frac{y^2}{\boxed{9}/\boxed{10}} = \boxed{11}$ となる。よって、曲線Cは楕円である。

(3) その2つの焦点をA, Bとすると、曲線C上の点Pについて、AP + BP = $\boxed{12}/\boxed{13}$ が常に成り立ち、A, Bを直交座標で表すと、A($\boxed{14}/\boxed{15}$, 0), B($\boxed{16}/\boxed{17}$, $\boxed{18}$) である。空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ より、$3r - r\cos\theta = 1$ であるから、$3r = r\cos\theta + 1$ 。よって、$\boxed{1}$ は 1。

直交座標に変換するため、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を用いる。

$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$

両辺を2乗して、$9(x^2 + y^2) = (x + 1)^2$

$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$

$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$

与えられた形に合わせると、$2x^2 + \frac{9}{4}y^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} = 0$ となる。しかし、問題の形と合わないため、元の式で考える。

$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$ は与えられた形になっていない。恐らく問題文にある $3r = r\cos\theta + 1$ が間違っている。正しくは $3r = r\cos\theta + 1$ ではなく $r = 3r\cos\theta + 1$ であると思われる。

$r = 3r\cos\theta + 1$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3x + 1$

$x^2 + y^2 = (3x + 1)^2$

$x^2 + y^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$8x^2 - y^2 + 6x + 1 = 0$

これも違う。

$r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$ より、$3r - r\cos\theta = 1$

$3r = r\cos\theta + 1$

ここで、$3r = x + 1$

$r = \frac{x+1}{3}$

$r^2 = (\frac{x+1}{3})^2$

$x^2 + y^2 = \frac{(x+1)^2}{9}$

$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$

$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$

問題文の$2x^2 + \boxed{3}y^2 - \boxed{4}x - \boxed{5} = 0$と比べる。

$2x^2 + \frac{9}{4}y^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} = 0$

なので、3 = 9/4, 4 = 1/2, 5 = 1/4となるはずだが、整数で埋めることはできない。問題が間違っている可能性がある。一旦、与えられた条件に従って、解き進める。

(2)

$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{8(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{8}} + \frac{9y^2}{\frac{9}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

よって、$\boxed{6}/\boxed{7} = 1/8$, $\boxed{8} = 9/64$, $\boxed{9}/\boxed{10} = 1/8$, $\boxed{11} = 1$

(3)

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$ より、

$a^2 = \frac{9}{64}$, $b^2 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$

$a = \frac{3}{8}$, $b = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$c^2 = a^2 - b^2 = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$

$c = \frac{1}{8}$

楕円上の点Pについて、AP + BP = 2a = $2 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

よって、$\boxed{12}/\boxed{13} = 3/4$

焦点は $(\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$ であるから、$(\frac{1}{4}, 0)$ と $(0, 0)$

A($\boxed{14}/\boxed{15}$, 0) = (1/4, 0), B($\boxed{16}/\boxed{17}$, $\boxed{18}$) = (0, 0)

3. 最終的な答え

1: 1

2: 8

3: 9

4: 2

5: 1

6: 1

7: 8

8: 9/64

9: 1

10: 8

11: 1

12: 3

13: 4

14: 1

15: 4

16: 0

17: 1

18: 0