三角形ABCにおいて、面積が $6\sqrt{6}$、AB=6、CA=5である。 (1) $\sin \angle BAC$ を求める。 (2) BCを求め、$\cos \angle ABC$ を求める。 (3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。OD、ADを求め、線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、面積が $6\sqrt{6}$、AB=6、CA=5である。

(1) $\sin \angle BAC$ を求める。

(2) BCを求め、$\cos \angle ABC$ を求める。

(3) 線分CAの垂直二等分線と三角形ABCの外接円の交点のうち、Bを含む弧CA上にある点をDとする。また、三角形ABCの外接円の中心をOとする。OD、ADを求め、線分CAの中点をMとすると、$\frac{OD}{DM}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積をSとすると、$S = \frac{1}{2} AB \cdot CA \cdot \sin \angle BAC$ より、

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAC$

$\sin \angle BAC = \frac{6\sqrt{6}}{15} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cdot \cos \angle BAC$

$\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$\cos \angle BAC = \frac{1}{5}$ ( $\angle BAC$ は鋭角なのでプラス)

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 36 + 25 - 12 = 49$

$BC = 7$

再び余弦定理より、

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(3) 円の中心Oから弦CAに下ろした垂線の足はM(CAの中点)になる。また、Dは円周上の点なのでOD=OA=OC=半径Rである。

正弦定理より$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$R = \frac{BC}{2\sin \angle BAC} = \frac{7}{2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

したがって、OD = $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

AM = MC = 5/2

$OM = \sqrt{R^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\frac{35\sqrt{6}}{24}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{35^2 \cdot 6}{24^2} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{7350}{576} - \frac{3600}{576}} = \sqrt{\frac{3750}{576}} = \sqrt{\frac{625}{96}} = \frac{25}{4\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$

$DM = R - OM = \frac{35\sqrt{6}}{24} - \frac{25\sqrt{6}}{24} = \frac{10\sqrt{6}}{24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

$\frac{OD}{DM} = \frac{\frac{35\sqrt{6}}{24}}{\frac{5\sqrt{6}}{12}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \cdot \frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{35}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{2}$

$\triangle ADC$において$\angle DAC = \angle DBC$ (円周角の定理)。

また、DはCAの垂直二等分線上の点なのでDA=DC。よって$\triangle ADC$は二等辺三角形。

$\angle AOC = 2 \angle ABC$ （中心角の定理）

$\angle AOC = 2 \arccos(\frac{5}{7})$

$\triangle AOC$は二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 2 \angle ABC)/2 = 90^{\circ} - \angle ABC$

$OA = R$

$AC = 5$

$\frac{AC}{2} = 2.5$

$OM = \sqrt{(\frac{35\sqrt{6}}{24})^2 - (2.5)^2} = \frac{25\sqrt{6}}{24}$

ADの求め方は不明。

3. 最終的な答え

13: ウ. $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

14: エ. 7

15: イ. $\frac{5}{7}$

16: ウ. $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

17: 解答不能

18: 解答不能 (選択肢に $\frac{7}{2}$ がない。最も近いのは　ウ. $\frac{5}{7}$ )