三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をD、辺ACを4:3に内分する点をEとする。直線BEと直線CDの交点をPとし、直線APが辺BCと交わる点をFとする。 (1) ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表す。 (2) 点Fは辺BCをどのような比に分けるか。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をD、辺ACを4:3に内分する点をEとする。直線BEと直線CDの交点をPとし、直線APが辺BCと交わる点をFとする。

(1) ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表す。

(2) 点Fは辺BCをどのような比に分けるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Pは直線BE上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AE}$ と表せる。

ここで、$\vec{AE} = \frac{4}{7}\vec{AC}$ であるから、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + \frac{4s}{7}\vec{AC}$

同様に、点Pは直線CD上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AD}$ と表せる。

ここで、$\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{AB}$ であるから、

$\vec{AP} = \frac{2t}{5}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{2t}{5}$

$\frac{4s}{7} = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$1 - s = \frac{2}{5}(1 - \frac{4s}{7})$

$35 - 35s = 14 - 8s$

$21 = 27s$

$s = \frac{7}{9}$

$t = \frac{25}{27}$

したがって、

$\vec{AP} = (1 - \frac{7}{9})\vec{AB} + \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{9}\vec{AC} = \frac{2}{9}\vec{AB} + \frac{4}{9}\vec{AC}$

(2)

点Fは直線AP上にあるので、実数 $k$ を用いて、$\vec{AF} = k\vec{AP}$ と表せる。

よって、$\vec{AF} = \frac{2k}{9}\vec{AB} + \frac{4k}{9}\vec{AC}$

一方、点Fは直線BC上にあるので、$\vec{AF} = (1-l)\vec{AB} + l\vec{AC}$ と表せる。

ここで、係数の和は1である。

したがって、$\frac{2k}{9} + \frac{4k}{9} = 1$

$\frac{6k}{9} = 1$

$k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

よって、$\vec{AF} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} \vec{AB} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$

したがって、点Fは辺BCを 2:1 に内分する。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{2}{9}\vec{AB} + \frac{4}{9}\vec{AC}$

(2) 点Fは辺BCを 2:1 に内分する。