三角形ABCの重心をGとし、直線AGと辺BCの交点をDとする。このとき、三角形BDGの面積と三角形ABCの面積の比を求める問題です。ただし、問題文には$\frac{\triangle BDGの面積}{\triangle ABCの面積} = \frac{17}{18}$と書かれているが、これは誤りです。正しくは比の値を計算する必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとし、直線AGと辺BCの交点をDとする。このとき、三角形BDGの面積と三角形ABCの面積の比を求める問題です。ただし、問題文には$\frac{\triangle BDGの面積}{\triangle ABCの面積} = \frac{17}{18}$と書かれているが、これは誤りです。正しくは比の値を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

重心Gは中線ADを2:1に内分します。つまり、$AG:GD = 2:1$です。また、Dは辺BCの中点なので、$BD = DC$です。

三角形ABDの面積は三角形ADCの面積と等しく、三角形ABCの面積の半分です。

$\triangle ABD = \triangle ADC = \frac{1}{2} \triangle ABC$

次に、三角形GBDの面積を考えます。三角形GBDと三角形ABDは、頂点Bを共有しており、GDとADを底辺と考えると、高さが共通になります。したがって、面積比は底辺の比に等しくなります。

$\frac{\triangle GBD}{\triangle ABD} = \frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$

したがって、$\triangle GBD = \frac{1}{3} \triangle ABD$となります。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \triangle ABC$を代入すると、$\triangle GBD = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{1}{6} \triangle ABC$となります。

したがって、面積比は$\frac{\triangle GBD}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$