三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=6, CA=5$である。 (1) $\cos{\angle B}$と三角形ABCの面積を求める。 (2) 辺BCの中点をMとし、直線AMと三角形ABCの外接円の交点でAでない方をDとする。MDの長さを求め、点Dを通り辺BCに垂直な直線と辺ACの交点をEとするとき、$AE$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=6, CA=5$である。

(1) $\cos{\angle B}$と三角形ABCの面積を求める。

(2) 辺BCの中点をMとし、直線AMと三角形ABCの外接円の交点でAでない方をDとする。MDの長さを求め、点Dを通り辺BCに垂直な直線と辺ACの交点をEとするとき、$AE$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$\cos{\angle B} = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{9 + 36 - 25}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

ヘロンの公式より、三角形ABCの面積を求める。

$s = \frac{3+6+5}{2} = 7$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{7(7-6)(7-5)(7-3)} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

(2) MはBCの中点なので、$BM = MC = \frac{6}{2} = 3$

方べきの定理より、$AM \cdot MD = BM \cdot MC$

$AM$を求める。

$\triangle ABM$において、余弦定理より、

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos{\angle B} = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{5}{9} = 9+9-10=8$

$AM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} \cdot MD = 3 \cdot 3 = 9$

$MD = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

$\triangle MAB$と$\triangle MCD$が相似である。

$\frac{AE}{EC} = \frac{AM}{MC}$

$\frac{AE}{5-AE} = \frac{AM}{MC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$3AE = (5-AE)2\sqrt{2} = 10\sqrt{2} - 2\sqrt{2}AE$

$(3+2\sqrt{2})AE = 10\sqrt{2}$

$AE = \frac{10\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{30\sqrt{2}-40}{9-8} = 30\sqrt{2}-40 \approx 2.426$

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle B} = \frac{5}{9}$, $\triangle ABC$の面積は$2\sqrt{14}$

(2) $MD = \frac{9\sqrt{2}}{4}$, $AE = \frac{10\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = 30\sqrt{2}-40$

したがって、空欄にあてはまる数は、それぞれ

28:5

29:9

30:2

31:14

32:

33:9

34:2

35:4

36:40-30√2を計算すると、計算があわない。

37:

38:

39:

$AE:EC = AM:MC = 2\sqrt2:3$

$AE = \frac{2\sqrt2}{3+2\sqrt2} * 5 = \frac{10\sqrt2(3-2\sqrt2)}{1} = 30\sqrt2 -40$

36:30

37:√2

38:

39: 5-AE