三角形ABCにおいて、$BC=4$, $CA=5$, $\cos{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=4$, $CA=5$, $\cos{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{C}$ の値から $\sin{C}$ の値を求める。

$\sin^2{C} + \cos^2{C} = 1$の関係式を用いると、

$\sin^2{C} = 1 - \cos^2{C} = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$0 < C < \pi$ なので $\sin{C} > 0$。よって、

$\sin{C} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin{C}$で求められる。

与えられた値と$\sin{C}$の値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5$

3. 最終的な答え

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