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四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線を$l$とする。$\angle DAB = 42^\circ$、$\angle ABD = 25^\circ$ のとき、$\angle BCD$ の大きさを求める。

幾何学円四角形接弦定理円周角の定理
2025/7/11

1. 問題の内容

四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線をllとする。∠DAB=42∘\angle DAB = 42^\circ、∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ のとき、∠BCD\angle BCD の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、接弦定理より、∠DAB=∠BCA=42∘\angle DAB = \angle BCA = 42^\circ である。
次に、∠ABC=∠ABD+∠DBC=25∘+∠DBC\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 25^\circ + \angle DBCである。
円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ。
また、∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC。
ここで、円周角の定理より、∠ADB=∠ACB=42∘\angle ADB = \angle ACB = 42^\circ。
四角形ABCDが円に内接しているので、∠BCD+∠BAD=180∘\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ が成り立つ。
したがって、∠BAD=∠BAl+∠lAD\angle BAD = \angle BAl + \angle lAD
∠BAl=∠BCA=42∘\angle BAl = \angle BCA = 42^\circ, ∠CAD=42∘\angle CAD = 42^\circ
∠CBA+∠CDA=180∘\angle CBA + \angle CDA = 180^\circ
∠CDA=∠CDB+∠BDA\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA.
∠BDA=∠BCA=42∘\angle BDA = \angle BCA = 42^\circ
∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ
∠CAB=∠CDB\angle CAB = \angle CDB
∠CAB+∠BCA+∠ABC=180∘\angle CAB + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ.
∠BCD+∠BAD=180∘\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ
∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BDC+42∘\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BDC + 42^\circ
∠BAD=180∘−∠BCD\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD
∠BCD+∠BDC+42∘=180∘\angle BCD + \angle BDC + 42^\circ = 180^\circ
∠BAC=∠CDB\angle BAC = \angle CDB
∠BAC+∠BCA+∠CBA=180∘\angle BAC + \angle BCA + \angle CBA = 180^\circ
∠BAC+42∘+25∘+∠DBC=180∘\angle BAC + 42^\circ + 25^\circ + \angle DBC = 180^\circ
∠BAC=113∘−∠DBC\angle BAC = 113^\circ - \angle DBC
∠BCD=180∘−∠BAD\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD
∠BCD=180∘−(∠BAC+42∘)\angle BCD = 180^\circ - (\angle BAC + 42^\circ)
∠BCD=180∘−(113∘−∠DBC+42∘)=180∘−155∘+∠DBC=25∘+∠DBC\angle BCD = 180^\circ - (113^\circ - \angle DBC + 42^\circ) = 180^\circ - 155^\circ + \angle DBC = 25^\circ + \angle DBC
また、∠BCD=∠BAD=180∘−(42∘+25∘)\angle BCD = \angle BAD = 180^\circ - (42^\circ + 25^\circ)。
∠ADB=∠ACB=42∘\angle ADB=\angle ACB = 42^\circ.
∠BCD=180∘−∠DAB\angle BCD = 180^\circ-\angle DAB
接弦定理より∠DAB=42∘\angle DAB = 42^\circ, ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ。
∠BCD=180∘−∠BAD\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD
∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BAC+42∘\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + 42^\circ
∠ACB=42∘\angle ACB=42^\circなので、∠ABC=180∘−42∘−∠BAC\angle ABC=180^\circ - 42^\circ - \angle BAC
∠ABC=138∘−∠BAC\angle ABC = 138^\circ - \angle BAC
∠ABC=25∘+∠DBC\angle ABC = 25^\circ + \angle DBC
∠BAC+42+25+∠DBC=180\angle BAC + 42 + 25 + \angle DBC=180
∠BAC+∠DBC=113\angle BAC + \angle DBC = 113
円に内接する四角形なので、∠BCD=180∘−∠BAD\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD.
∠DAB=42∘+25∘=67∘\angle DAB = 42^\circ+25^\circ=67^\circ, ∠BAD=180∘−∠BCD\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD.
∠BCA=∠DAB=42∘\angle BCA=\angle DAB=42^\circ, ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.
∠BCD=180∘−(25∘+42∘)=180∘−67∘=113∘\angle BCD=180^\circ-(25^\circ+42^\circ)=180^\circ-67^\circ=113^\circ

3. 最終的な答え

113

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