極方程式 $r = \frac{1}{3 \cos \theta}$ で表される曲線 C が与えられている。まず、$3r = r \cos \theta + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ で表し、その方程式を整理する。次に、曲線 C が楕円であることから、その2つの焦点 A, B を求め、曲線 C 上の点 P について、$AP + BP$ の値を求める。さらに、A, B の直交座標を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3 \cos \theta}$ で表される曲線 C が与えられている。まず、$3r = r \cos \theta + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ で表し、その方程式を整理する。次に、曲線 C が楕円であることから、その2つの焦点 A, B を求め、曲線 C 上の点 P について、$AP + BP$ の値を求める。さらに、A, B の直交座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、$r = \frac{1}{3 - \cos \theta}$ から $3r - r\cos \theta = 1$ を得る。したがって、$3r = r\cos \theta + 1$ である。$\boxed{1}$ には 1 が入る。

次に、$x = r \cos \theta$ , $y = r \sin \theta$ , $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ であるから、$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$ となる。

両辺を2乗すると、$9(x^2 + y^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ より、$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$ となり、$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$ である。よって、$\boxed{2}$ は 8, $\boxed{3}$ は 9, $\boxed{4}$ は 2, $\boxed{5}$ は 1 である。

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$ を整理すると、$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$ より、$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$ となる。$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$ なので、$\frac{8(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{8}} + \frac{9y^2}{\frac{9}{8}} = 1$ 、つまり、$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$ である。よって、$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = 1$ となる。

したがって、$\boxed{6}$ は 64, $\boxed{7}$ は 3, $\boxed{8}$ は 9, $\boxed{9}$ は 8, $\boxed{10}$ は 1, $\boxed{11}$ は 8 である。

ここで、$a = \frac{3}{8}$ , $b = \frac{\sqrt{2}}{4}$ であるから、$c^2 = a^2 - b^2 = \frac{9}{64} - \frac{2}{16} = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$ より、$c = \frac{1}{8}$ となる。

長軸の長さは $2a = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$ なので、$AP + BP = \frac{3}{4}$ 。よって、$\boxed{12}$ は 3, $\boxed{13}$ は 4 である。

楕円の中心は $(\frac{1}{8}, 0)$ であり、焦点は $(\frac{1}{8} \pm c, 0) = (\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$ となる。

よって、焦点は $(0, 0)$ と $(\frac{1}{4}, 0)$ 。したがって、A = $(0, 0)$ , B = $(\frac{1}{4}, 0)$ となる。（AとBの区別はどちらでも良い）よって、$\boxed{14}$ は 0, $\boxed{15}$ は 0, $\boxed{16}$ は 1, $\boxed{17}$ は 4, $\boxed{18}$ は 0 である。

3. 最終的な答え

1, 8, 9, 2, 1, 64, 3, 9, 8, 1, 8, 3, 4, 0, 0, 1, 4, 0