円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとする。$\angle DAB = 42^\circ$ 、$\angle DBA = 25^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとする。$\angle DAB = 42^\circ$ 、$\angle DBA = 25^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、接弦定理より、$\angle DAB = \angle BCA$である。よって、$\angle BCA = 42^\circ$である。

次に、$\triangle ABD$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle DBA = 180^\circ - 42^\circ - 25^\circ = 113^\circ$となる。

円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$となる。

ここで、$\angle BAD = \angle DAB = 42^\circ$ではないことに注意する。四角形ABCDの内角$\angle BAD$は、$\angle DAB$と$\angle BAC$の和である。

$\angle ABC = \angle DBA = 25^\circ$である。円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC$である。

また、円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$ が成り立つ。

ここで、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$である。

$\angle BCD + \angle BAD = \angle BCD + \angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - (\angle BAC + \angle CAD)$

$\angle ADB = \angle ACB$であるので、$\angle ADB = \angle ACB = 113^\circ$ではない。

$\angle ACB = 42^{\circ}$である。

$\angle ABC = 25^{\circ}$

$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - (42^{\circ} + \angle DAC)$

接弦定理より、$\angle DAB = \angle BCA = 42^{\circ}$

$\angle ABC = 25^{\circ}$

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle DAC = \angle DBC = 25^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle BCD = 180^{\circ} - (\angle BAC + 42^{\circ})$

$\angle ABD = \angle ACD = 25^{\circ}$

$\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$

$\angle BCD = 180^{\circ} - (42^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle BAD = \angle BDC + 25^{\circ}$

$\angle CAD = 42^\circ$の間違い. $\angle CAD = \angle CBD$

$180 = \angle BCD + \angle BAD = \angle BCD + 25^{\circ} + \angle BAC$

ここで、円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$である。また、$\angle CAD=25^{\circ}$である。

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$である。

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$であるから、$\angle BAD = 42^\circ + 25^\circ = 67^\circ$である。

したがって、$\angle BCD = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$となる。

3. 最終的な答え

113