円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとします。$\angle DAB = 42^\circ$、$\angle DBA = 25^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとします。$\angle DAB = 42^\circ$、$\angle DBA = 25^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接弦定理より$\angle DAB = \angle BCA = 42^\circ$となります。

$\angle ADB = \angle ACB = 42^\circ$ (円周角の定理)

三角形ADBにおいて、

$\angle ABD = 25^{\circ}$

$\angle DAB = 42^{\circ}$

なので、

$\angle ADB = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 42^{\circ} = 113^{\circ}$

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は$180^\circ$です。

したがって、$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$、

また$\angle ADB=\angle ACB = 42^\circ$

したがって、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$

$\angle BAD = \angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$

$\angle BAC = 180^\circ - 42^\circ - 25^\circ - \angle BCD$

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$が成り立ちます。

また、接弦定理より$\angle DAB = 42^\circ$です。

よって、$\angle BCA= \angle DAB = 42^\circ$です。

三角形ABDにおいて、$\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABD = 180^\circ - 42^\circ - 25^\circ = 113^\circ$

円周角の定理より$\angle ACB= \angle ADB = 113^{\circ}$

$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$より、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$です。

$\angle BAC = \angle BCA$

円周角の定理より$\angle ACB=25$

ここで$\angle DAB=42^\circ$, $\angle DBA=25^\circ$なので、三角形ABDに着目します。

三角形ABDの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ADB = 180^\circ - 42^\circ - 25^\circ = 113^\circ$です。

円周角の定理より$\angle ACB= \angle ADB = 113^\circ$ です。

また接弦定理より$\angle CAD= \angle CBA = 25^\circ$ です。

$\angle BCD + \angle BAD=180^\circ$なので、$\angle BCD + \angle BAC+ \angle CAD=180^\circ$

従って

$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - (42^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^\circ - 67^\circ$

$\angle BCD =113^{\circ}$

3. 最終的な答え

113