二つの問題があります。 (1) 直線 $l$ は円 $O$ と円 $O'$ の共通接線であるとき、$x$ の値を求めよ。円 $O$ の半径は6, 円 $O'$ の半径は2である。 (2) 直線 $AB$ は円の接線であるとき、$x$ の値を求めよ。 $AC = 4, AB = 6$である。

1. 問題の内容

二つの問題があります。

(1) 直線 $l$ は円 $O$ と円 $O'$ の共通接線であるとき、$x$ の値を求めよ。円 $O$ の半径は6, 円 $O'$ の半径は2である。

(2) 直線 $AB$ は円の接線であるとき、$x$ の値を求めよ。 $AC = 4, AB = 6$である。

2. 解き方の手順

(1)

円 $O$ の中心から直線 $l$ に垂線を下ろし、その足を $A$ とする。

円 $O'$ の中心から直線 $l$ に垂線を下ろし、その足を $B$ とする。

$O$ から $O'B$ に平行な線を引き、$O'B$ との交点を $C$ とすると、

$OO' = 6 + 2 = 8$

$OC = 6 - 2 = 4$

直角三角形 $OO'C$ において、三平方の定理より

$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$

$8^2 = 4^2 + O'C^2$

$64 = 16 + O'C^2$

$O'C^2 = 48$

$O'C = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$O'C = AB = x$ より、 $x = 4\sqrt{3}$

(2)

方べきの定理より、

$AC \times AD = AB^2$

$4 \times (4 + x) = 6^2$

$16 + 4x = 36$

$4x = 20$

$x = 5$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4\sqrt{3}$

(2) $x = 5$