底面が $AC = DF = 16$ cm の三角形で、高さが $9$ cm の三角柱がある。点 $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線と辺 $AC$ との交点を $H$ とすると、$AH = 6$ cm, $BH = 5$ cm である。このとき、以下の問いに答える。 (1) この三角柱の体積を求める。 (2) 線分 $CH$ 上に $AB = BG$ となる点 $G$ をとり、線分 $FG$ 上に点 $P$ をとる。$B$ を頂点とし、四角形 $DPGH$ を底面とする四角錐の体積が $95$ cm$^3$ であるとき、三角形 $DPG$ の面積を求める。

1. 問題の内容

底面が $AC = DF = 16$ cm の三角形で、高さが $9$ cm の三角柱がある。点 $B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線と辺 $AC$ との交点を $H$ とすると、$AH = 6$ cm, $BH = 5$ cm である。このとき、以下の問いに答える。

(1) この三角柱の体積を求める。

(2) 線分 $CH$ 上に $AB = BG$ となる点 $G$ をとり、線分 $FG$ 上に点 $P$ をとる。$B$ を頂点とし、四角形 $DPGH$ を底面とする四角錐の体積が $95$ cm$^3$ であるとき、三角形 $DPG$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱の体積は、底面積 × 高さで求められる。

底面積は三角形 $ABC$ であり、$AC$ を底辺、$BH$ を高さと見なすと、

底面積 = $\frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 16 \times 5 = 40$ cm$^2$

したがって、三角柱の体積は

体積 = 底面積 × 高さ = $40 \times 9 = 360$ cm$^3$

(2)

まず、$CG$ の長さを求める。

$CH = AC - AH = 16 - 6 = 10$ cm

三角形 $ABH$ において、$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$

よって、$AB = \sqrt{61}$ cm

$BG = AB = \sqrt{61}$ cm

三角形 $BGH$ において、$BG^2 = BH^2 + GH^2$ なので、$GH^2 = BG^2 - BH^2 = 61 - 25 = 36$

よって、$GH = 6$ cm

したがって、$CG = CH - GH = 10 - 6 = 4$ cm

次に、四角錐 $B-DPGH$ の体積が $95$ cm$^3$ であることを利用して、三角形 $DPG$ の面積を求める。

四角錐 $B-DPGH$ の体積 = $\frac{1}{3} \times ($四角形 $DPGH$ の面積$) \times (B$ から四角形 $DPGH$ を含む平面への距離$)$

四角形 $DPGH$ の面積 = 三角形 $DPG$ の面積 + 三角形 $GPH$ の面積

$CG = 4$ cm なので、$BG = \sqrt{61}$ cm となるような点 $G$ が $CH$ 上にある。

点 $P$ は線分 $FG$ 上にある。$B$ から面 $ADFC$ に下ろした垂線は $BH = 5$ cm。

四角錐の体積 $= \frac{1}{3} \times ($ 四角形 $DPGH$ の面積 $) \times 5 = 95$ より

四角形 $DPGH$ の面積 $= \frac{95 \times 3}{5} = 19 \times 3 = 57$ cm$^2$

$\triangle ADG$の面積 $= \frac{1}{2} \times AD \times AG = \frac{1}{2} \times 9 \times (AH + HG) = \frac{1}{2} \times 9 \times (6+6) = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$

$\triangle DGH$の面積 $= \frac{1}{2} \times DG \times 9 = \frac{1}{2} \times 9 \times GH \sin 90^\circ$

$AB = BG, CH = AC - AH = 16 - 6 = 10, CG = ?$

$AH = 6 cm, BH = 5 cm, HC = 10 cm$. $AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$.

$BG = \sqrt{61}$. $BG^2 = BH^2 + HG^2 = HG^2+25 = 61$, $HG=\sqrt{36}=6$

$CG = CH-GH = 10-6=4$

$V = \frac{1}{3}S h$

$Area(DPGH) \times h = 57$

$Area(DPH)+Area(DGH) = 57$

$BG=\sqrt{61}$

四角錐 $DPGH = Area(\triangle DPG)$

四角形 $DPGH = \triangle DPG+\triangle GPH$

$\frac{1}{3} \times Area(DPGH) \times BH = 95$

Area $DPGH = \frac{95*3}{5} = 57$

$\triangle DGH= \frac{1}{2} DH* GH = \frac{1}{2} 9 \times 6= 27$

$57 = Area(DPG) +27$

$Area(DPG)=30 cm^2$

3. 最終的な答え

(1) $360$ cm$^3$

(2) $30$ cm$^2$