三角形ABCにおいて、$a:b = 7:3$, $A = 60^\circ$ である。さらに、三角形ABCにおいて、$c = 4$, $b = 3$, $A = 60^\circ$ とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。 (1) BMの長さ (2) $\cos B$ の値 (3) AMの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a:b = 7:3$, $A = 60^\circ$ である。さらに、三角形ABCにおいて、$c = 4$, $b = 3$, $A = 60^\circ$ とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。

(1) BMの長さ

(2) $\cos B$ の値

(3) AMの長さ

2. 解き方の手順

(1) BMの長さ:

まず、余弦定理を用いて $a$ の長さを求める。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ である。

$a^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)\cos 60^\circ$

$a^2 = 9 + 16 - 24(\frac{1}{2})$

$a^2 = 25 - 12 = 13$

$a = \sqrt{13}$

MはBCの中点なので、$BM = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

(2) $\cos B$ の値:

余弦定理を用いて $\cos B$ を求める。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$3^2 = (\sqrt{13})^2 + 4^2 - 2(\sqrt{13})(4)\cos B$

$9 = 13 + 16 - 8\sqrt{13}\cos B$

$8\sqrt{13}\cos B = 13 + 16 - 9 = 20$

$\cos B = \frac{20}{8\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26}$

(3) AMの長さ:

中線定理を用いる。中線定理は、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ である。

$4^2 + 3^2 = 2(AM^2 + (\frac{\sqrt{13}}{2})^2)$

$16 + 9 = 2(AM^2 + \frac{13}{4})$

$25 = 2AM^2 + \frac{13}{2}$

$50 = 4AM^2 + 13$

$4AM^2 = 37$

$AM^2 = \frac{37}{4}$

$AM = \frac{\sqrt{37}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $BM = \frac{\sqrt{13}}{2}$

(2) $\cos B = \frac{5\sqrt{13}}{26}$

(3) $AM = \frac{\sqrt{37}}{2}$