三角形ABCにおいて、$c=4$, $b=3$, $A=60^\circ$ とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求めよ。 (1) BMの長さ (2) $\cos B$ の値 (3) AMの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c=4$, $b=3$, $A=60^\circ$ とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求めよ。

(1) BMの長さ

(2) $\cos B$ の値

(3) AMの長さ

2. 解き方の手順

(1) BMの長さについて

まず、余弦定理を用いて$a$の長さを求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12 = 13$

$a = \sqrt{13}$

MはBCの中点なので、$BM = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

(2) $\cos B$ の値について

余弦定理を用いて$\cos B$を求める。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$2ac\cos B = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{13 + 16 - 9}{2\sqrt{13} \cdot 4}$

$\cos B = \frac{20}{8\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26}$

(3) AMの長さについて

中線定理を用いる。中線定理とは、三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとするとき、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ が成り立つというものである。

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$c^2 + b^2 = 2(AM^2 + (\frac{a}{2})^2)$

$4^2 + 3^2 = 2(AM^2 + (\frac{\sqrt{13}}{2})^2)$

$16 + 9 = 2(AM^2 + \frac{13}{4})$

$25 = 2AM^2 + \frac{13}{2}$

$50 = 4AM^2 + 13$

$4AM^2 = 37$

$AM^2 = \frac{37}{4}$

$AM = \frac{\sqrt{37}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $BM = \frac{\sqrt{13}}{2}$

(2) $\cos B = \frac{5\sqrt{13}}{26}$

(3) $AM = \frac{\sqrt{37}}{2}$