問題は2つあります。 (1) 点 A(4, -1, 3) と点 B(2, 1, 1) を通る直線と xy 平面の交点の座標を求めます。 (2) 4点 O(0, 0, 0), A(1, 3, -2), B(3, -1, 1), C(-1, t, -5) が同一平面上にあるような t の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 点 A(4, -1, 3) と点 B(2, 1, 1) を通る直線と xy 平面の交点の座標を求めます。

(2) 4点 O(0, 0, 0), A(1, 3, -2), B(3, -1, 1), C(-1, t, -5) が同一平面上にあるような t の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB の方程式を求めます。次に、z 座標が 0 になるようにパラメータを設定し、交点の x 座標と y 座標を求めます。

(2) 4点 O, A, B, C が同一平面上にあるとき、ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ が一次従属になります。つまり、$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ となる実数 s, t が存在します。この式から t の値を求めます。

(1)

ベクトル $\overrightarrow{AB}$ は、

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 1-(-1) \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

直線 AB 上の点は、パラメータ k を用いて

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2k \\ -1+2k \\ 3-2k \end{pmatrix}$

と表されます。xy 平面上では z = 0 なので、

$3 - 2k = 0$

$k = \frac{3}{2}$

このとき、

$x = 4 - 2(\frac{3}{2}) = 4 - 3 = 1$

$y = -1 + 2(\frac{3}{2}) = -1 + 3 = 2$

したがって、直線 AB と xy 平面の交点の座標は (1, 2, 0) となります。

(2)

ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ は、

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -1 \\ t \\ -5 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB}$ となる s, u を求めます。

$\begin{pmatrix} -1 \\ t \\ -5 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+3u \\ 3s-u \\ -2s+u \end{pmatrix}$

以下の連立方程式を解きます。

$-1 = s + 3u$

$t = 3s - u$

$-5 = -2s + u$

最初の式と最後の式から s と u を求めます。

$-1 = s + 3u$

$-5 = -2s + u$

最初の式を2倍すると、$-2 = 2s + 6u$。

最後の式と足すと、$-7 = 7u$ なので、$u = -1$。

$s = -1 - 3u = -1 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$。

したがって、

$t = 3s - u = 3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$。

3. 最終的な答え

(1) (1, 2, 0)

(2) t = 7