三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分CDとBEの交点をFとし、直線AFと辺BCの交点をGとする。このとき、三角形EFGの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分CDとBEの交点をFとし、直線AFと辺BCの交点をGとする。このとき、三角形EFGの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を利用してBG:GCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{BG}{GC} = 2$

よって、BG:GC = 2:1

次に、メネラウスの定理を利用してAF:FGを求める。

三角形BCGと直線AFについて、

$\frac{BA}{AD} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{CE}{EG} = 1$

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AF}{FG} \cdot \frac{GC}{CB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{AF}{FG} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{AF}{FG} = 1$

よって、AF:FG = 1:1

次に、$\triangle FBC$ の面積を $\triangle ABC$ の面積で表す。

$\triangle FBC = \frac{BF}{BE} \cdot \frac{BC}{BC} \triangle EBC$

ここで、$\frac{BF}{FE}$ を求めるためにメネラウスの定理を使う。

$\triangle ACD$と直線BEについて

$\frac{AB}{BD} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{BF}{FE} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BF}{FE} = \frac{9}{8}$

$\triangle FBC = \frac{BF}{BE} \cdot \triangle ABC$

$= \frac{9/8}{17/8} \triangle ABC$

$= \frac{9}{17} \triangle ABC$

$\triangle FGC = \frac{1}{3} \triangle FBC$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{17} \triangle ABC$

$= \frac{3}{17} \triangle ABC$

$\triangle AFE = \frac{AF}{AG} \cdot \frac{AE}{AC} \triangle AGC$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \triangle ABC$

$= \frac{3}{10} \triangle ABC$

$\frac{CF}{CD} = \frac{8}{17}$

$\triangle FCE = \frac{8}{17} \times \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{16}{85}\triangle ABC$

$\triangle EFG = \triangle AGC - \triangle AFC$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{85} - \frac{3}{5}= \frac{1}{17}\triangle ABE$

$\frac{CG}{CB}=\frac{1}{3}$

$\triangle ABG =\frac{2}{3} \triangle ABC$

$\triangle ABC /15$

$AF:FG = 1:1$より、$\triangle AFG = \frac{1}{2}\triangle ABG \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \triangle ABC$

$\frac{3}{5}\times \frac{8}{17}$

$\triangle AFE = \frac{3}{5}$

$\triangle EFC = \frac{16}{85} ABC$

よって,

$\triangle EFG = \frac{3}{5} \triangle AEG - \triangle FGC$

3. 最終的な答え

ウ. 1/18