円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CA=6, AD=CDである。 (1) $\cos{\angle ABC}$, $\sin{\angle ABC}$, 三角形ABCの面積を求める。 (2) 円Cの半径を求める。 (3) AD=CDの長さを求め、三角形ACDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CA=6, AD=CDである。

(1) $\cos{\angle ABC}$, $\sin{\angle ABC}$, 三角形ABCの面積を求める。

(2) 円Cの半径を求める。

(3) AD=CDの長さを求め、三角形ACDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle ABC$に余弦定理を適用する。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos{\angle ABC}$

$6^2 = 5^2 + 4^2 - 2(5)(4)\cos{\angle ABC}$

$36 = 25 + 16 - 40\cos{\angle ABC}$

$40\cos{\angle ABC} = 5$

$\cos{\angle ABC} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

したがって、13の答えはイである。

次に、$\sin{\angle ABC}$を求める。

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$

$\sin^2{\angle ABC} = 1 - \cos^2{\angle ABC} = 1 - (\frac{1}{8})^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin{\angle ABC} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{\sqrt{9 \times 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

したがって、14の答えはエである。

次に、三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2}(AB)(BC)\sin{\angle ABC} = \frac{1}{2}(5)(4)(\frac{3\sqrt{7}}{8}) = \frac{20}{2}(\frac{3\sqrt{7}}{8}) = 10(\frac{3\sqrt{7}}{8}) = \frac{30\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

したがって、15の答えはイである。

(2)

円Cの半径Rを求める。正弦定理より

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$R = \frac{AC}{2\sin{\angle ABC}} = \frac{6}{2(\frac{3\sqrt{7}}{8})} = \frac{6}{\frac{3\sqrt{7}}{4}} = 6 \times \frac{4}{3\sqrt{7}} = \frac{24}{3\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

したがって、16の答えはウである。

(3)

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$。

$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^{\circ} - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{8}$

$\triangle ADC$に余弦定理を適用する。AD = CD = x とおく。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos{\angle ADC}$

$6^2 = x^2 + x^2 - 2(x)(x)(-\frac{1}{8})$

$36 = 2x^2 + \frac{1}{4}x^2 = \frac{9}{4}x^2$

$x^2 = 36 \times \frac{4}{9} = 4 \times 4 = 16$

$x = 4$

したがって、17の答えはウである。

$\triangle ADC$の面積を求める。

$\sin{\angle ADC} = \sin{(180^{\circ} - \angle ABC)} = \sin{\angle ABC} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$S = \frac{1}{2}(AD)(CD)\sin{\angle ADC} = \frac{1}{2}(4)(4)(\frac{3\sqrt{7}}{8}) = 8(\frac{3\sqrt{7}}{8}) = 3\sqrt{7}$

したがって、18の答えはウである。

3. 最終的な答え

13: ウ. $1/8$

14: エ. $\frac{3\sqrt{7}}{8}$

15: イ. $\frac{15\sqrt{7}}{4}$

16: ウ. $\frac{8\sqrt{7}}{7}$

17: ウ. 4

18: ウ. $3\sqrt{7}$