平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとする。このとき、$n$ 本の直線によってできる交点の個数 $a_n$ を求める問題である。 $a_n$ が満たす漸化式、および $a_n$ の一般項の式を求める。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとする。このとき、$n$ 本の直線によってできる交点の個数 $a_n$ を求める問題である。

$a_n$ が満たす漸化式、および $a_n$ の一般項の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を求める。

$n$ 本の直線があるとき、$n+1$ 本目の直線を引くと、$n$ 本の直線それぞれと交わるので、交点が $n$ 個増える。したがって、

$a_{n+1} = a_n + n$

これは選択肢の３と一致する。つまり、選択肢１は $a_n = a_{n-1} + n - 1$

次に、$a_n$ の一般項を求める。

$a_n - a_{n-1} = n-1$

$a_{n-1} - a_{n-2} = n-2$

$\vdots$

$a_2 - a_1 = 1$

これらの式をすべて足し合わせると、

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$n=1$ のとき直線は1本なので、交点は存在せず、$a_1 = 0$ である。

したがって、

$a_n = \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = \frac{n(n-1)}{2}$

与えられた式と比較すると、

$a_n = \frac{n(n-\boxed{1})}{\boxed{2}}$

よって、２の箱は1、3の箱は2

3. 最終的な答え

1の箱：3

2の箱：1

3の箱：2