問題(3)：正四面体OABCがあり、各面の重心をO', A', B', C'とする。四面体OABCの体積をV、四面体O'A'B'C'の体積をV'とするとき、V/V'の値を求める。 問題(4)：5で割ると3余り、8で割ると1余る正の整数のうち、3桁のものは何個あるかを求める。
2025/7/11
1. 問題の内容
問題(3)：正四面体OABCがあり、各面の重心をO', A', B', C'とする。四面体OABCの体積をV、四面体O'A'B'C'の体積をV'とするとき、V/V'の値を求める。
問題(4)：5で割ると3余り、8で割ると1余る正の整数のうち、3桁のものは何個あるかを求める。
2. 解き方の手順
問題(3):
正四面体OABCの各面の重心O', A', B', C'は、各辺を1:2に内分する点に相当する。よって、四面体O'A'B'C'は、四面体OABCと相似であり、相似比は1/3である。
体積比は相似比の3乗に等しいから、V'/V = (1/3)^3 = 1/27
したがって、V/V' = 27
問題(4):
5で割ると3余り、8で割ると1余る正の整数をNとする。
N = 5x + 3 = 8y + 1 (x, yは整数)
これを満たすNを見つける。
5x + 3 = 8y + 1
5x + 2 = 8y
5x = 8y - 2
x = 2のとき、5 * 2 = 10 = 8 * 1.5 - 2となり、これは整数ではない。
y = 4 のとき、8y - 2 = 30。5x = 30より、x = 6
よって、N = 5 * 6 + 3 = 33、N = 8 * 4 + 1 = 33
Nの一般解は、N = 40k + 33 (kは整数) と表せる。
3桁の整数なので、100 ≦ 40k + 33 ≦ 999
67 ≦ 40k ≦ 966
67/40 ≦ k ≦ 966/40
1. 675 ≦ k ≦ 24.15
kは整数なので、2 ≦ k ≦ 24
したがって、kの個数は、24 - 2 + 1 = 23個
3. 最終的な答え
問題(3): 27
問題(4): 23