三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分CDとBEの交点をFとし、直線AFと辺BCの交点をGとする。このとき、三角形EFGの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分CDとBEの交点をFとし、直線AFと辺BCの交点をGとする。このとき、三角形EFGの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理、メネラウスの定理、面積比の性質を用いることで解くことができる。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

問題文より、$AD:DB = 1:3$、$CE:EA = 3:2$なので、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{BG}{GC} = 2$

したがって、$BG:GC = 2:1$

次に、メネラウスの定理を三角形ADCと直線BGに対して適用する。

$\frac{AB}{BD} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

問題文より、$AB:BD = 4:3$であり、$CG:BG = 1:2$であるので、$CG:BC=1:3$となる。

よって、$CG = \frac{1}{3}BC$、 $GA = \frac{2}{3}BC$ となる。また、計算の都合上 $AG:GC=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2:1$なので$GC:AG=1:2$となる。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{DF}{FC} = \frac{3}{2}$

したがって、$DF:FC = 3:2$

次に、メネラウスの定理を三角形BCEと直線ADに対して適用する。

$\frac{BA}{AD} \cdot \frac{DF}{FE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1$

問題文より、$BA:AD = 4:1$、$EA:AC=2:5$なので、

$\frac{4}{1} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{2}{5} = 1$

$\frac{BF}{FE} = \frac{8}{5}$

三角形AFEの面積をSとおくと、三角形ABEの面積は$\frac{BF+FE}{FE}S=\frac{13}{5}S$となる。

三角形ABCの面積は$\frac{AC}{AE}\times \frac{13}{5}S=\frac{5}{2}\times \frac{13}{5}S=\frac{13}{2}S$となる。

また、三角形AFCの面積は$\frac{CF}{DF+FC}\times$三角形ADC$=\frac{2}{5}\times$三角形ADCとなる。

三角形ADCの面積は$\frac{AD}{AB}\times$三角形ABC$=\frac{1}{4}\times\frac{13}{2}S=\frac{13}{8}S$となる。

よって、三角形AFCの面積は$\frac{2}{5}\times\frac{13}{8}S=\frac{13}{20}S$となる。

三角形EFGの面積をTとおくと、

$\frac{T}{S} = \frac{FG}{AF}\times \frac{FE}{BE}$

$\frac{FG}{AF}=1-\frac{AG}{AF}$

$\frac{FE}{BE}=\frac{5}{13}$

ここで面積比を利用する。

$\triangle EFG = \frac{GC}{BC} \cdot \frac{FE}{BE} \cdot \triangle EBC = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} \triangle ABC = \frac{1}{13} \triangle ABC$

$\triangle EFG = \frac{BG}{BC} \cdot \frac{DF}{DC} \cdot \triangle DBC = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} \triangle ABC = \frac{1}{10} \triangle ABC$

$\triangle FGC = \frac{FG}{AG} \cdot \frac{GC}{BC} \cdot \triangle ABC$

$\triangle EBG = \frac{FE}{BE} \cdot \frac{BG}{BC} \cdot \triangle ABC = \frac{5}{13} \cdot \frac{2}{3} \cdot \triangle ABC$

$\frac{S_{\triangle EFG}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{S_{\triangle ABC} - (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACE} + S_{\triangle FBG} + S_{\triangle FGC})}{S_{\triangle ABC}}$

$\frac{EFG}{ABC} = \frac{1}{18}$

3. 最終的な答え

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