一辺の長さが4の正四面体OABCについて、以下のものを求める問題です。 (1) 三角形ABCの面積 $S_1$ (2) 正四面体OABCの体積 $V_1$ (3) 正四面体OABCの外接球の半径 $R$ (4) 正四面体OABCの内接球の半径 $r$ (5) 正四面体OABCの内接球の表面積 $S_2$ と体積 $V_2$

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体OABCについて、以下のものを求める問題です。

(1) 三角形ABCの面積 $S_1$

(2) 正四面体OABCの体積 $V_1$

(3) 正四面体OABCの外接球の半径 $R$

(4) 正四面体OABCの内接球の半径 $r$

(5) 正四面体OABCの内接球の表面積 $S_2$ と体積 $V_2$

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積 $S_1$を求める。

三角形ABCは正三角形なので、面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (一辺の長さ)^2$で求めることができる。

一辺の長さは4なので、$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$

(2) 正四面体OABCの体積 $V_1$を求める。

正四面体の体積は$\frac{\sqrt{2}}{12} \times (一辺の長さ)^3$で求めることができる。

一辺の長さは4なので、$V_1 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 4^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 64 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) 正四面体OABCの外接球の半径 $R$を求める。

正四面体の外接球の半径は$R = \frac{\sqrt{6}}{4} \times (一辺の長さ)$で求めることができる。

一辺の長さは4なので、$R = \frac{\sqrt{6}}{4} \times 4 = \sqrt{6}$

(4) 正四面体OABCの内接球の半径 $r$を求める。

正四面体の内接球の半径は$r = \frac{\sqrt{6}}{12} \times (一辺の長さ)$で求めることができる。

一辺の長さは4なので、$r = \frac{\sqrt{6}}{12} \times 4 = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(5) 正四面体OABCの内接球の表面積 $S_2$ と体積 $V_2$ を求める。

内接球の表面積は$S_2 = 4\pi r^2$で求めることができる。

$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$なので、$S_2 = 4\pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 4\pi \times \frac{6}{9} = \frac{8\pi}{3}$

内接球の体積は$V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3$で求めることができる。

$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$なので、$V_2 = \frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{4}{3}\pi \times \frac{2\sqrt{6}}{9} = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 4\sqrt{3}$

(2) $V_1 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) $R = \sqrt{6}$

(4) $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(5) $S_2 = \frac{8\pi}{3}$, $V_2 = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$