次の極方程式が表す図形を求め、図を描く問題です。 (1) $r = \frac{a}{\cos\theta}$ ($a>0$, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$) (2) $r = a\cos\theta$ ($a>0$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)

1. 問題の内容

次の極方程式が表す図形を求め、図を描く問題です。

(1) $r = \frac{a}{\cos\theta}$ ($a>0$, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)

(2) $r = a\cos\theta$ ($a>0$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)

2. 解き方の手順

(1) 極座標と直交座標の関係式 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を利用します。

$r = \frac{a}{\cos\theta}$ より $r\cos\theta = a$ です。

$x = r\cos\theta$ なので、$x = a$ となります。

これは $x = a$ を表す直線の方程式です。

ただし、$a>0$ かつ $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるので、$y$軸に平行な直線 $x = a$ で、$x=a$かつ、$y$ は実数全体となります。

(2) $r = a\cos\theta$ の両辺に $r$ を掛けると、$r^2 = ar\cos\theta$ となります。

極座標と直交座標の関係式 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $x^2 + y^2 = r^2$ を利用すると、$x^2 + y^2 = ax$ となります。

これを変形すると、

$x^2 - ax + y^2 = 0$

$x^2 - ax + (\frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$

$(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$

これは中心 $(\frac{a}{2}, 0)$, 半径 $\frac{a}{2}$ の円を表します。

$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ なので、円全体を表します。

3. 最終的な答え

(1) $x = a$ を表す直線（ただし、$a>0$ なので $y$軸より右側）。

(2) 中心 $(\frac{a}{2}, 0)$, 半径 $\frac{a}{2}$ の円。