$x-1$, $x$, $x+1$ が三角形の3辺の長さとなるような $x$ の値の範囲を求め、さらに、それらのうち鈍角三角形になるような $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x-1$, $x$, $x+1$ が三角形の3辺の長さとなるような $x$ の値の範囲を求め、さらに、それらのうち鈍角三角形になるような $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が成立するための条件

三角形の成立条件は、「最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和よりも小さい」ことです。

$x-1$, $x$, $x+1$ の中で最も長い辺は $x+1$ です。

したがって、以下の不等式が成り立ちます。

$x+1 < (x-1) + x$

$x+1 < 2x - 1$

$2 < x$

また、三角形の辺の長さは正でなければならないので、

$x-1 > 0$ より $x > 1$ が必要です。

これらの条件を合わせると、$x > 2$ が三角形が成立するための条件となります。

(2) 鈍角三角形になるための条件

$x-1, x, x+1$ を辺の長さとする三角形が鈍角三角形となる条件は、ピタゴラスの定理の拡張から、最も長い辺の2乗が、他の2辺の2乗の和よりも大きいことです。

つまり、$x+1$ が最も長い辺なので、以下の不等式が成り立ちます。

$(x+1)^2 > x^2 + (x-1)^2$

$x^2 + 2x + 1 > x^2 + x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 4x < 0$

$x(x-4) < 0$

よって、$0 < x < 4$ となります。

(3) 条件の絞り込み

(1)と(2)の条件を両方満たす必要があります。

$x > 2$ と $0 < x < 4$ を満たす範囲は、$2 < x < 4$ です。

3. 最終的な答え

三角形が成立する $x$ の範囲: $x > 2$

鈍角三角形となる $x$ の範囲: $2 < x < 4$