(1) 三角柱において、辺BCとねじれの位置にある辺の本数を求める。 (2) 側面が中心角120°のおうぎ形になる円錐の表面積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。 (3) 2つの直角二等辺三角形ABCとBDCを組み合わせた直角二等辺三角形ADCを、ADを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。 (4) 底面が直角三角形である三角柱を、辺AD上の点PとB, Cを通る平面で2つの立体に分けたとき、頂点Dを含む立体の体積を求める。ただし、AB=3cm, AC=6cm, AD=12cm, AP=5cmとする。

1. 問題の内容

(1) 三角柱において、辺BCとねじれの位置にある辺の本数を求める。

(2) 側面が中心角120°のおうぎ形になる円錐の表面積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。

(3) 2つの直角二等辺三角形ABCとBDCを組み合わせた直角二等辺三角形ADCを、ADを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。

(4) 底面が直角三角形である三角柱を、辺AD上の点PとB, Cを通る平面で2つの立体に分けたとき、頂点Dを含む立体の体積を求める。ただし、AB=3cm, AC=6cm, AD=12cm, AP=5cmとする。

2. 解き方の手順

(1)

ねじれの位置にある辺とは、平行でなく、かつ交わらない辺のことである。

辺BCと平行な辺はない。

辺BCと交わる辺は、辺ABと辺CFである。

したがって、ねじれの位置にある辺は、辺AD, 辺DE, 辺EFの3本である。

(2)

円錐の母線の長さは12cmである。

展開図のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しい。

おうぎ形の弧の長さは、 $2\pi \times 12 \times \frac{120}{360} = 8\pi$ である。

したがって、底面の円の半径をrとすると、$2\pi r = 8\pi$ より $r=4$ である。

側面積は $\pi \times 12^2 \times \frac{120}{360} = 48\pi$ である。

底面積は $\pi \times 4^2 = 16\pi$ である。

表面積は側面積と底面積の和であるから、$48\pi + 16\pi = 64\pi$ である。

(3)

回転体は、底面の半径が4cmの円錐2つを底面同士で合わせた形になる。

1つの円錐の高さは、4cmである。

円錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$で表される。

したがって、円錐1つの体積は、$\frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 4 = \frac{64}{3}\pi$ である。

2つの円錐を合わせた体積は、$2 \times \frac{64}{3}\pi = \frac{128}{3}\pi$ である。

(4)

三角柱の体積は、底面積 $\times$ 高さである。

底面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ cm$^2$ である。

三角柱の体積は、$9 \times 12 = 108$ cm$^3$ である。

立体P-ABCの体積を考える。これは三角錐であり、体積は $\frac{1}{3}\times \text{底面積}\times \text{高さ}$ で求められる。

底面積は $\triangle ABC$ の面積なので $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ cm$^2$ である。

高さはAP=5cmであるから、立体P-ABCの体積は $\frac{1}{3} \times 9 \times 5 = 15$ cm$^3$ である。

したがって、頂点Dを含む立体の体積は、$108 - 15 = 93$ cm$^3$ である。

3. 最終的な答え

(1) 3本

(2) $64\pi$

(3) $\frac{128}{3}\pi$

(4) 93 cm$^3$