2つの平面 $3x + \sqrt{2}y + z - 6 = 0$ と $x + \sqrt{2}y + z - 5 = 0$ のなす角を求めます。

## 問17

1. 問題の内容

2つの平面 $3x + \sqrt{2}y + z - 6 = 0$ と $x + \sqrt{2}y + z - 5 = 0$ のなす角を求めます。

2. 解き方の手順

2つの平面の法線ベクトルをそれぞれ $\vec{n_1}$ と $\vec{n_2}$ とすると、それぞれの成分は平面の方程式の係数から読み取れます。

$\vec{n_1} = (3, \sqrt{2}, 1)$

$\vec{n_2} = (1, \sqrt{2}, 1)$

2つの平面のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

で計算できます。

まず内積 $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ を計算します。

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3)(1) + (\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (1)(1) = 3 + 2 + 1 = 6$

次に、各ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 2 + 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$

したがって、

$\cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}$ （または $30^\circ$）です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$ （または $30^\circ$）

## 問18

1. 問題の内容

2つの平面 $x + 2y + kz - 3 = 0$ と $x + (k+2)y - 3z - 5 = 0$ が垂直になるように定数 $k$ の値を定めます。

2. 解き方の手順

2つの平面が垂直である条件は、それぞれの法線ベクトルの内積が0になることです。

それぞれの法線ベクトルは、

$\vec{n_1} = (1, 2, k)$

$\vec{n_2} = (1, k+2, -3)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ であればよいので、

$(1)(1) + (2)(k+2) + (k)(-3) = 0$

$1 + 2k + 4 - 3k = 0$

$-k + 5 = 0$

$k = 5$

3. 最終的な答え

$k = 5$