三角形ABCにおいて、$a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ とする。次の等式が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形であるか。 (1) $\sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C$ (2) $b \cos B = c \cos C$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ とする。次の等式が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形であるか。

(1) $\sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C$

(2) $b \cos B = c \cos C$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ より、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$。

与えられた式に代入すると、

$(\frac{a}{2R})^2 = (\frac{b}{2R})^2 + (\frac{c}{2R})^2$

$a^2 = b^2 + c^2$

これはピタゴラスの定理であるから、$\angle A = 90^{\circ}$ の直角三角形である。

(2) 余弦定理より、

$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

これを与えられた式に代入すると、

$b \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} = c \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

両辺に $2a$ をかけると、

$b \frac{c^2+a^2-b^2}{c} = c \frac{a^2+b^2-c^2}{b}$

$b^2(c^2+a^2-b^2) = c^2(a^2+b^2-c^2)$

$b^2c^2 + a^2b^2 - b^4 = a^2c^2 + b^2c^2 - c^4$

$a^2b^2 - b^4 = a^2c^2 - c^4$

$a^2(b^2 - c^2) - (b^4 - c^4) = 0$

$a^2(b^2 - c^2) - (b^2 - c^2)(b^2 + c^2) = 0$

$(b^2 - c^2)(a^2 - (b^2 + c^2)) = 0$

よって、$b^2 = c^2$ または $a^2 = b^2 + c^2$

$b^2 = c^2$ より $b = c$

$a^2 = b^2 + c^2$ より $\angle A = 90^{\circ}$

したがって、$b=c$ の二等辺三角形、または $\angle A = 90^{\circ}$ の直角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 90^{\circ}$ の直角三角形

(2) $b=c$ の二等辺三角形、または $\angle A = 90^{\circ}$ の直角三角形