与えられた2つの直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$ $\frac{x+3}{2} = \frac{y+2}{k} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$ が直交するときの定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの直線

$\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$

$\frac{x+3}{2} = \frac{y+2}{k} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$

が直交するときの定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線の方向ベクトルを求めます。1つ目の直線の方向ベクトルを $\vec{v_1}$、2つ目の直線の方向ベクトルを $\vec{v_2}$ とすると、

$\vec{v_1} = (2, -6, 2\sqrt{2})$

$\vec{v_2} = (2, k, -\sqrt{2})$

2つの直線が直交するということは、それぞれの方向ベクトルが直交するということなので、内積が0になります。

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

$2 \cdot 2 + (-6) \cdot k + 2\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 0$

$4 - 6k - 4 = 0$

$-6k = 0$

$k = 0$

3. 最終的な答え

$k = 0$