平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4, BC=CA=6$が与えられている。対角線の交点をO, 辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとし、AMとBDの交点をG, ANとBDの交点をFとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) OBの長さを求めよ。 (2) GFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4, BC=CA=6$が与えられている。対角線の交点をO, 辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとし、AMとBDの交点をG, ANとBDの交点をFとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) OBの長さを求めよ。

(2) GFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、$OB = \frac{1}{2}BD$である。ここで、$BD$の長さを求める。$\triangle ABC$と$\triangle CDA$において、$AB=CD=4$, $BC=DA=6$, $CA$は共通なので、$\triangle ABC \equiv \triangle CDA$である。よって、$AC=BD=6$となる。したがって、$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 6 = 3$となる。

(2) 点Gは$\triangle ABC$の重心なので、$BG:GO = 2:1$である。よって、$BG = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3} \times 3 = 2$となる。

また、点Fは$\triangle ADC$の重心なので、$DF:FO=2:1$である。よって、$DF = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3} \times 3 = 2$となる。

したがって、$GF=BD-BG-DF=6-2-2=2$となる。

3. 最終的な答え

(1) OBの長さは3

(2) GFの長さは2