三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=4$である。角Aの二等分線と辺BCの交点をPとする。 (1) 三角形ABCの面積Sと内接円の半径rを求めよ。 (2) 線分BPと線分APの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=4$である。角Aの二等分線と辺BCの交点をPとする。

(1) 三角形ABCの面積Sと内接円の半径rを求めよ。

(2) 線分BPと線分APの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ヘロンの公式を用いて三角形ABCの面積Sを求める。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{6 + 5 + 4}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-6)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-4)}$

$S = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

次に、内接円の半径rを求める。

$S = rs$より、

$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{7}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2)

角Aの二等分線が辺BCと交わる点をPとするとき、角の二等分線の定理より、

$BP : PC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2$

よって、$BP = \frac{3}{3+2} BC = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

三角形ABPにおいて、余弦定理より、

$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2 \times AB \times BP \times \cos B$

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{6^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 6 \times 5} = \frac{36 + 25 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

$AP^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \frac{3}{4} = 36 + 9 - 27 = 18$

$AP = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{15\sqrt{7}}{4}$, $r = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2) $BP = 3$, $AP = 3\sqrt{2}$