2つの平面 $x + 2y + kz - 3 = 0$ と $x + (k+2)y - 3z - 5 = 0$ が垂直になるような定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの平面 $x + 2y + kz - 3 = 0$ と $x + (k+2)y - 3z - 5 = 0$ が垂直になるような定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つの平面が垂直になる条件は、それぞれの法線ベクトルの内積が0になることです。

平面 $x + 2y + kz - 3 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (1, 2, k)$ です。

平面 $x + (k+2)y - 3z - 5 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (1, k+2, -3)$ です。

これらの内積が0になる条件は、

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

つまり、

$(1)(1) + (2)(k+2) + (k)(-3) = 0$

これを解きます。

$1 + 2k + 4 - 3k = 0$

$5 - k = 0$

$k = 5$

3. 最終的な答え

$k = 5$