三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{\sqrt{5}} = \frac{\sin B}{\sqrt{2}} = \sin C$が与えられている。 (1) 3辺の長さの比AB:BC:CAと最大角の大きさを求める。 (2) 三角形ABCの外接円の半径が2のとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{\sqrt{5}} = \frac{\sin B}{\sqrt{2}} = \sin C$が与えられている。

(1) 3辺の長さの比AB:BC:CAと最大角の大きさを求める。

(2) 三角形ABCの外接円の半径が2のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径) が成り立つ。

したがって、$a:b:c = \sin A: \sin B: \sin C$である。

与えられた条件より、$\sin A: \sin B: \sin C = \sqrt{5}:\sqrt{2}:1$であるから、

$a:b:c = \sqrt{5}:\sqrt{2}:1$

よって、$BC:CA:AB = \sqrt{5}:\sqrt{2}:1$

$BC = \sqrt{5}k, CA = \sqrt{2}k, AB = k$ (k>0) とおける。

$BC^2 = 5k^2, CA^2 = 2k^2, AB^2 = k^2$ であるから、$BC^2 = CA^2 + AB^2 + 2CA \cdot AB \cos A$

$5k^2 = 2k^2 + k^2 - 2\sqrt{2}k^2 \cos B$

$2k^2 + 2\sqrt{2}k^2 \cos B= 0$

$\cos B = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$B = 135^\circ$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

三角形の辺の長さの比は、$a:b:c = BC:CA:AB = \sqrt{5}:\sqrt{2}:1$

最大角は、$B$で、$B = 135^{\circ}$

(2) 外接円の半径が2なので、正弦定理より、$\frac{CA}{\sin B} = 2R = 4$

$CA = \sqrt{2}k$ であったので、$\frac{\sqrt{2}k}{\sin 135^{\circ}} = 4$

$\frac{\sqrt{2}k}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$

$2k = 4$

$k = 2$

$BC = \sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5}$

$CA = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}$

$AB = 2$

三角形の面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sin 135^{\circ} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) AB:BC:CA = $1:\sqrt{5}:\sqrt{2}$, 最大角の大きさ: 135度

(2) 三角形ABCの面積: $\sqrt{10}$