2つの直線の方程式が与えられており、それらのなす角を求める問題です。 直線の方程式はそれぞれ、 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$ $\frac{x+3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$ で表されています。

1. 問題の内容

2つの直線の方程式が与えられており、それらのなす角を求める問題です。

直線の方程式はそれぞれ、

$\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-6} = \frac{z-3}{2\sqrt{2}}$

$\frac{x+3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-\sqrt{2}}$

で表されています。

2. 解き方の手順

2つの直線の方向ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}$とします。

1つ目の直線の方程式から、$\vec{a} = (2, -6, 2\sqrt{2})$

2つ目の直線の方程式から、$\vec{b} = (-1, 2, -\sqrt{2})$

2つの直線のなす角を$\theta$とすると、

$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

で与えられます。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-6)(2) + (2\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -2 - 12 - 4 = -18$

次に、$|\vec{a}|$を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 36 + 8} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

次に、$|\vec{b}|$を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 4 + 2} = \sqrt{7}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{|-18|}{4\sqrt{3} \sqrt{7}} = \frac{18}{4\sqrt{21}} = \frac{9}{2\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

$\theta = \arccos \left( \frac{3\sqrt{21}}{14} \right)$

問題文の意図を考えると、なす角が$\frac{\pi}{2}$に近いかどうかを判断する必要があるかもしれません。

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ であり、$\frac{3\sqrt{21}}{14}$ は0に近い値ではありません。

$\frac{3\sqrt{21}}{14}$という値は特殊な角度ではないので、$\arccos$の値として答えれば良いでしょう。

$\cos\theta = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

3. 最終的な答え

$\arccos\left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right)$