2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を定める問題です。 $l_1$ は $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ で表され、$l_2$ は $x = 3 + kt$, $y = 2t$, $z = 1 - 4t$ で表されます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるように、定数 $k$ の値を定める問題です。

$l_1$ は $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-5}{2}$ で表され、$l_2$ は $x = 3 + kt$, $y = 2t$, $z = 1 - 4t$ で表されます。

2. 解き方の手順

直線 $l_1$ の方向ベクトルを $\vec{v_1}$ とすると、$\vec{v_1} = (3, -5, 2)$ となります。

直線 $l_2$ の方向ベクトルを $\vec{v_2}$ とすると、$\vec{v_2} = (k, 2, -4)$ となります。

2つの直線が垂直であるためには、方向ベクトルの内積が0になる必要があります。

したがって、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ を満たす必要があります。

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 3k + (-5)(2) + (2)(-4) = 3k - 10 - 8 = 3k - 18$

$3k - 18 = 0$ を解きます。

$3k = 18$

$k = \frac{18}{3}$

$k = 6$

3. 最終的な答え

$k = 6$