三角形ABCにおいて、以下の問いに答える。 (1) $b=10$, $A=60^\circ$, $C=75^\circ$ のとき、$a$と外接円の半径$R$を求める。 (2) $a=7$, $b=5$, $c=8$ のとき、$A$を求める。 (3) $a=5$, $c=7$, $C=120^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の問いに答える。

(1) $b=10$, $A=60^\circ$, $C=75^\circ$ のとき、$a$と外接円の半径$R$を求める。

(2) $a=7$, $b=5$, $c=8$ のとき、$A$を求める。

(3) $a=5$, $c=7$, $C=120^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$B$の角度を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ であるから、

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}$

外接円の半径$R$は、正弦定理より $\frac{b}{\sin B} = 2R$ なので、

$R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{10}{2\sin 45^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$

(2)

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ なので、

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos A$

$49 = 25 + 64 - 80 \cos A$

$80 \cos A = 25 + 64 - 49 = 40$

$\cos A = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$A = 60^\circ$

(3)

三角形の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}ac\sin C$ で求められる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5\sqrt{6}$, $R = 5\sqrt{2}$

(2) $A = 60^\circ$

(3) 面積: $\frac{35\sqrt{3}}{4}$