三角形ABCにおいて、$a=5$, $c=7$, $C=120^\circ$のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5$, $c=7$, $C=120^\circ$のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求める公式を使用します。2辺の長さとその間の角がわかっている場合、面積は以下の式で計算できます。

$S = \frac{1}{2}ac\sin C$

この問題では、$a=5$, $c=7$, $C=120^\circ$なので、これらの値を代入します。

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{35\sqrt{3}}{4}$