## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問からなります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線を求める。

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし $Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線を求める。

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求める。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線と法線を求める。**

* **接線の求め方:**

円の方程式を $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ とおく。点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は、

$x_0x + y_0y = 1$ で与えられる。

したがって、点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ における接線の方程式は、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1$

$\sqrt{3}x + y = 2$

* **法線の求め方:**

法線は接線に垂直で、接点を通る直線である。接線の傾きは $-\sqrt{3}$ なので、法線の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

したがって、法線の方程式は、

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

**(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ における接平面と法線を求める。**

* **接平面の求め方:**

平面上の点 $(p, q, r)$ における接平面は、元の平面と一致する。したがって、接平面の方程式は、

$Ax + By + Cz = D$

* **法線の求め方:**

平面の法線ベクトルは $(A, B, C)$ である。したがって、法線は点 $(p, q, r)$ を通り、方向ベクトルが $(A, B, C)$ の直線である。

法線の方程式は、

$\frac{x - p}{A} = \frac{y - q}{B} = \frac{z - r}{C}$

**(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求める。**

* **接線の求め方:**

点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ から円 $x^2 + y^2 = 1$ に引いた接線を求める。接点を $(x_0, y_0)$ とすると、接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$ である。この接線が点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、

$\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 + y_0 = 1$

$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$

また、$(x_0, y_0)$ は円上の点なので、 $x_0^2 + y_0^2 = 1$ を満たす。

$x_0^2 + (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}x_0)^2 = 1$

$x_0^2 + 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}x_0 + \frac{1}{3}x_0^2 = 1$

$\frac{4}{3}x_0^2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}x_0 = 0$

$2x_0(2x_0 - \sqrt{3}) = 0$

$x_0 = 0$ または $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_0 = 0$ のとき、$y_0 = 1$。接線は $y = 1$

$x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y_0 = \frac{1}{2}$。接線は $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1$、つまり$\sqrt{3}x + y = 2$

* **法線の求め方:**

接線 $y = 1$ に対して、法線は $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

接線 $\sqrt{3}x + y = 2$ に対して、法線は $y - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \frac{\sqrt{3}}{2})$、つまり $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

**(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。**

* **接平面の求め方:**

曲面の方程式を $f(x, y, z) = xy - z = 0$ とおく。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = x$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

点 $(1, 1, 1)$ における偏微分係数は、それぞれ $1, 1, -1$ となる。

したがって、接平面の方程式は、

$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$

$x + y - z = 1$

* **法線の求め方:**

法線ベクトルの方向は $(1, 1, -1)$ である。したがって、法線の方程式は、

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

$x - 1 = y - 1 = -(z - 1)$

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3. 最終的な答え

**(1)**

接線: $\sqrt{3}x + y = 2$

法線: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

**(2)**

接平面: $Ax + By + Cz = D$

法線: $\frac{x - p}{A} = \frac{y - q}{B} = \frac{z - r}{C}$

**(3)**

接線: $y = 1$, $\sqrt{3}x + y = 2$

法線: $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

**(4)**

接平面: $x + y - z = 1$

法線: $x - 1 = y - 1 = -(z - 1)$