平面上の3つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}| = 1$ を満たし、$\vec{c}$ は $\vec{a}$ に垂直で、$\vec{b} \cdot \vec{c} > 0$ である。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、また $|2\vec{a} + \vec{b}|$ を求め、 $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める。 (2) ベクトル $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

1. 問題の内容

平面上の3つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}| = 1$ を満たし、$\vec{c}$ は $\vec{a}$ に垂直で、$\vec{b} \cdot \vec{c} > 0$ である。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、また $|2\vec{a} + \vec{b}|$ を求め、 $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める。

(2) ベクトル $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ の両辺を2乗する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 1$

$1 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 1$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

次に $|2\vec{a} + \vec{b}|$ を計算する。

$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4(1) + 4(-\frac{1}{2}) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$

$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos{\theta} = \frac{(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}}{|2\vec{a} + \vec{b}| |\vec{b}|} = \frac{2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{2(-\frac{1}{2}) + 1}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 1}{\sqrt{3}} = 0$

$\theta = 90^\circ$

(2)

$\vec{c}$ は $\vec{a}$ に垂直なので、$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおくと、

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (s\vec{a} + t\vec{b}) = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = s - \frac{1}{2}t = 0$

$s = \frac{1}{2}t$

また、 $|\vec{c}| = 1$ より、

$|\vec{c}|^2 = (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (s\vec{a} + t\vec{b}) = s^2|\vec{a}|^2 + 2st(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2 = 1$

$s^2 + 2st(-\frac{1}{2}) + t^2 = 1$

$s^2 - st + t^2 = 1$

$(\frac{1}{2}t)^2 - (\frac{1}{2}t)t + t^2 = 1$

$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t^2 + t^2 = 1$

$\frac{3}{4}t^2 = 1$

$t^2 = \frac{4}{3}$

$t = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (s\vec{a} + t\vec{b}) = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 = s(-\frac{1}{2}) + t = -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}t) + t = -\frac{1}{4}t + t = \frac{3}{4}t > 0$ より、$t > 0$ である。

よって $t = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$s = \frac{1}{2}t = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{a} + \frac{2}{\sqrt{3}}\vec{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}(\vec{a} + 2\vec{b})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$

$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角は $90^\circ$

(2) $\vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{3}(\vec{a} + 2\vec{b})$