点Qが直線 $y = 2x + 5$ 上を動くとき、線分OQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。ただし、Oは原点とする。

1. 問題の内容

点Qが直線 $y = 2x + 5$ 上を動くとき、線分OQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。ただし、Oは原点とする。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$、点Qの座標を $(s, t)$ とおく。

点Qは直線 $y = 2x + 5$ 上にあるので、

$t = 2s + 5$ が成り立つ。

点Pは線分OQを2:1に内分する点なので、

$x = \frac{2s + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2s}{3}$

$y = \frac{2t + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2t}{3}$

が成り立つ。

これらの式を $s$ と $t$ について解くと、

$s = \frac{3x}{2}$

$t = \frac{3y}{2}$

となる。

$t = 2s + 5$ に $s$ と $t$ の値を代入すると、

$\frac{3y}{2} = 2 \cdot \frac{3x}{2} + 5$

$\frac{3y}{2} = 3x + 5$

$3y = 6x + 10$

$y = 2x + \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$y = 2x + \frac{10}{3}$