以下の3つの図形の直交座標表示から極座標表示を求める問題です。ただし、$a > 0$ は定数です。 (1) 連珠形: $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)$ (2) 心臓形: $(x^2 + y^2 - ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$ (3) Descartesの正葉形: $x^3 + y^3 = 3axy$

1. 問題の内容

以下の3つの図形の直交座標表示から極座標表示を求める問題です。ただし、$a > 0$ は定数です。

(1) 連珠形: $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)$

(2) 心臓形: $(x^2 + y^2 - ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$

(3) Descartesの正葉形: $x^3 + y^3 = 3axy$

2. 解き方の手順

極座標変換の公式 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $x^2 + y^2 = r^2$ を用いて、それぞれの式を変換します。

(1) 連珠形: $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)$

$r^4 = 2a^2(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)$

$r^4 = 2a^2r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$r^4 = 2a^2r^2\cos(2\theta)$

$r^2 = 2a^2\cos(2\theta)$ (ただし、$r \neq 0$)

(2) 心臓形: $(x^2 + y^2 - ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$

$(r^2 - ar\cos\theta)^2 = a^2r^2$

$r^4 - 2ar^3\cos\theta + a^2r^2\cos^2\theta = a^2r^2$

$r^2 - 2ar\cos\theta + a^2\cos^2\theta = a^2$ (ただし、$r \neq 0$)

$r^2 - 2ar\cos\theta + a^2\cos^2\theta - a^2 = 0$

$r^2 - 2ar\cos\theta + a^2(\cos^2\theta - 1) = 0$

$r^2 - 2ar\cos\theta - a^2\sin^2\theta = 0$

解の公式より、

$r = \frac{2a\cos\theta \pm \sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4a^2\sin^2\theta}}{2}$

$r = \frac{2a\cos\theta \pm \sqrt{4a^2}}{2} = \frac{2a\cos\theta \pm 2a}{2}$

$r = a\cos\theta \pm a = a(1 + \cos\theta)$ または $r = a(\cos\theta - 1)$

$r \ge 0$より、$r=a(1+\cos\theta)$

(3) Descartesの正葉形: $x^3 + y^3 = 3axy$

$(r\cos\theta)^3 + (r\sin\theta)^3 = 3a(r\cos\theta)(r\sin\theta)$

$r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta = 3ar^2\cos\theta\sin\theta$

$r(\cos^3\theta + \sin^3\theta) = 3a\cos\theta\sin\theta$

$r = \frac{3a\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}$

$r = \frac{3a\cos\theta\sin\theta}{(\cos\theta + \sin\theta)(\cos^2\theta - \cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta)}$

$r = \frac{3a\cos\theta\sin\theta}{(\cos\theta + \sin\theta)(1 - \cos\theta\sin\theta)}$

分母分子を $\cos^3 \theta$ で割ると,

$r = \frac{3a\tan \theta \sec \theta}{(1 + \tan \theta)( \sec^2 \theta - \tan \theta \sec \theta)} = \frac{3a\tan \theta \sec \theta}{(1 + \tan \theta)(1 + \tan^2 \theta - \tan \theta \sec \theta)}$

この形でも間違いではありません。

3. 最終的な答え

(1) 連珠形: $r^2 = 2a^2\cos(2\theta)$

(2) 心臓形: $r = a(1+\cos\theta)$

(3) Descartesの正葉形: $r = \frac{3a\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}$