三角形ABCの面積を$S$、外接円の半径を$R$とするとき、以下の等式を証明する。 (1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ (2) $S = \frac{abc}{4R}$

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を$S$、外接円の半径を$R$とするとき、以下の等式を証明する。

(1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

(2) $S = \frac{abc}{4R}$

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCの面積$S$は、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$で表せる。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

よって、$b = 2R \sin B$、$c = 2R \sin C$

これらを面積の式に代入すると、

$S = \frac{1}{2}(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A$

$S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

したがって、与えられた等式は成り立つ。

(2)

三角形ABCの面積$S$は、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$で表せる。

正弦定理より、$\sin A = \frac{a}{2R}$

これを面積の式に代入すると、

$S = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{2R}$

$S = \frac{abc}{4R}$

したがって、与えられた等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

(2) $S = \frac{abc}{4R}$