点A, B, Cの座標が与えられており、以下の問題を解きます。 (1) 点Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $i, j, k$ を用いて求めます。 (2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r(t)}$ を、$t=0$ のときA、$t=1$ のときBに対応するように、$i, j, k$ を用いて表します。 (3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r(s)}$ を、$s=0$ のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように表します。

1. 問題の内容

点A, B, Cの座標が与えられており、以下の問題を解きます。

(1) 点Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $i, j, k$ を用いて求めます。

(2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r(t)}$ を、$t=0$ のときA、$t=1$ のときBに対応するように、$i, j, k$ を用いて表します。

(3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r(s)}$ を、$s=0$ のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように表します。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標が (1, 2, 0) なので、位置ベクトル $\vec{r_A}$ は $i + 2j + 0k = i + 2j$ となります。

(2) 線分AB上の点Pの位置ベクトル $\vec{r(t)}$ は、点Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ と点Bの位置ベクトル $\vec{r_B}$ を用いて、

$\vec{r(t)} = (1-t)\vec{r_A} + t\vec{r_B}$ と表せます。

点Aの座標は (1, 2, 0) なので、$\vec{r_A} = i + 2j$ です。

点Bの座標は (-2, 0, 3) なので、$\vec{r_B} = -2i + 0j + 3k = -2i + 3k$ です。

したがって、

$\vec{r(t)} = (1-t)(i + 2j) + t(-2i + 3k) = i + 2j - ti - 2tj - 2ti + 3tk = (1 - 3t)i + (2 - 2t)j + 3tk = (i + 2j) + t(-3i - 2j + 3k)$

となります。

(3) 線分ABの長さは、

$|\vec{AB}| = |\vec{r_B} - \vec{r_A}| = |(-2i + 3k) - (i + 2j)| = |-3i - 2j + 3k| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$

となります。

$s$ が線分APの長さに等しいとき、$t = \frac{s}{|\vec{AB}|} = \frac{s}{\sqrt{22}}$ となります。

したがって、

$\vec{r(s)} = (i + 2j) + \frac{s}{\sqrt{22}}(-3i - 2j + 3k)$

となります。

$\vec{r(s)} = (i + 2j) + \frac{s}{\sqrt{22}}(-3i - 2j + 3k)$ は、 $\frac{1}{\sqrt{22}} s (-3i - 2j + 3k) + (i + 2j)$と表すことができます。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{r_A} = i + 2j$

(2) $\vec{r(t)} = (-3i - 2j + 3k)t + (i + 2j)$

(3) $\vec{r(s)} = \frac{1}{\sqrt{22}} s (-3i - 2j + 3k) + (i + 2j)$