一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAを3:2に内分する点をPとする。辺OB上の点QをPQ+QCが最小となるようにとるとき、OQ:QBとPQ+QCの値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAを3:2に内分する点をPとする。辺OB上の点QをPQ+QCが最小となるようにとるとき、OQ:QBとPQ+QCの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Cから平面OABに下ろした垂線の足をHとする。正四面体OABCにおいて、Hは正三角形OABの中心となる。

このとき、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$。

PQ + QCが最小となるのは、点Cの平面OABに関する対称点をC'としたとき、点Qが線分PC'とOBの交点となるときである。

ここで、正四面体の対称性から、OC' = OC = 1である。

OCの中点をMとすると、OM = $\frac{1}{2}$。

$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OC}$

C'からOBに下ろした垂線の足をRとする。

三角形OBCにおいて、OB = BC = CO = 1である。

CからOBに下ろした垂線の足をRとすると、OR = $\frac{1}{2}$となる。

つまり、$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$。

ここで、PQ + QC = PQ + QC' = PC'なので、PC'を最小にすればよい。

点Cの平面OABに関する対称点をC'とすると、PQ + QCが最小となるのは、点Qが線分PC'とOBの交点となるときである。

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$である。

Oを原点とし、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。

$\overrightarrow{PC'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP} = \vec{c} - \frac{3}{5}\vec{a}$

点QはOB上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OB} = k\vec{b}$と表せる。

点Qは線分PC'上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OC'} = (1-t)\frac{3}{5}\vec{a} + t\vec{c}$

よって、$k\vec{b} = (1-t)\frac{3}{5}\vec{a} + t\vec{c}$となるが、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、矛盾する。

PQ + QCが最小になるのは、PからOBに垂線を下ろしたときの足がQになる時ではなく、OBで折り返したPの像P'とCを結んだ線分がOBと交わるときです。

$\triangle OAP$において、$OP = 3/5, OA = 1, \angle O = 60^\circ$であり、PのOBに関する対称点をP'とすると、$\triangle OAP \equiv \triangle OBP'$

よって、$OP' = OP = 3/5$

$\angle P'OB = \angle AOB = 60^\circ$

CとP'を結んだ線分とOBの交点がQとなる。

$\triangle OCP'$を考える。OC=1, OP'=3/5, $\angle COP' = 120^\circ$

余弦定理より、$CP'^2 = OC^2 + OP'^2 - 2*OC*OP'*cos120^\circ = 1 + 9/25 + 2 * 1 * 3/5 * 1/2 = 1 + 9/25 + 3/5 = 25/25 + 9/25 + 15/25 = 49/25$

$CP' = 7/5$

$PQ + QC = P'Q + QC = P'C = 7/5$

$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OP'} + t\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OP'} = x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$とすると、

$s\overrightarrow{OB} = (1-t)(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}) + t\overrightarrow{OC}$

$x(1-t) = 0 \rightarrow x = 0 \quad or \quad t = 1$

$y(1-t) = s$

$t = 0$

ここで、A,O,Bが一直線上にないため$\triangle OAB$においてOBに関するPの対称点がP'になるのは$OP'=OP$かつ、$\angle POB = \angle P'OB$となるときである。なので、$\angle COP'= 60 + 60 = 120°$

OC = 1, OP' = 3/5なので、$CP'^2= 1 + 9/25 -2×1×3/5 × cos120 = 1 + 9/25 -2×1×3/5 × -1/2 = 1 + 9/25 + 3/5 = 49/25$

$CP'=7/5$

$\triangle COP'$にメネラウスの定理を用いると、

$OQ/QB * BC/CP' * P'O/OC = 1$

$OQ/QB * 1/(7/5) * (3/5)/1 = 1$

$OQ/QB * 5/7 * 3/5 = 1$

$OQ/QB * 3/7 = 1$

$OQ/QB = 7/3$

OQ:QB = 7:3

3. 最終的な答え

OQ:QB = 7:3

PQ+QC = 7/5