一辺の長さが1の正四面体$OABC$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$P$とする。辺$OB$上の点$Q$を、$PQ+QC$が最小となるようにとる。このとき、$OQ:QB$と$PQ+QC$の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体$OABC$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$P$とする。辺$OB$上の点$Q$を、$PQ+QC$が最小となるようにとる。このとき、$OQ:QB$と$PQ+QC$の値を求める。

2. 解き方の手順

$PQ+QC$を最小にするには、$C$の直線$OB$に関する対称点$C'$を考え、$P$から$C'$への直線と$OB$との交点が$Q$となるようにすればよい。

$OA=OB=OC=1$であり、$OP:PA=3:2$なので、$OP=\frac{3}{5}$となる。

また、$C'$は$OB$に関して$C$と対称なので、$OC=OC'=1$である。

$\triangle OBC$と$\triangle OBC'$は合同な正三角形である。

ここで、$\triangle OPC'$において、$OP=\frac{3}{5}$, $OC'=1$, $\angle COB = 60^\circ$なので、$\angle POC' = 2 \angle BOC = 120^\circ$である。

よって余弦定理より、

$PC'^2 = OP^2 + OC'^2 - 2 \cdot OP \cdot OC' \cdot \cos{120^\circ}$

$PC'^2 = (\frac{3}{5})^2 + 1^2 - 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})$

$PC'^2 = \frac{9}{25} + 1 + \frac{3}{5} = \frac{9+25+15}{25} = \frac{49}{25}$

$PC' = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}$

次に、$OQ:QB$を求める。$\triangle OPQ$と$\triangle C'BQ$は相似なので、

$OQ:QB = OP:BC' = OP:OC = \frac{3}{5} : 1 = 3:5$

よって、$OQ:QB = 3:5$

また、$PQ+QC=PQ+QC'=PC'=\frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

$OQ:QB = 3:5$

$PQ+QC = \frac{7}{5}$