以下の4つの問題に答えます。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ における接線と法線を求めます。 (2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし $Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線を求めます。 (3) 点 $(\sqrt{3}/3, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。

1. 問題の内容

以下の4つの問題に答えます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ における接線と法線を求めます。

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ (ただし $Ap + Bq + Cr = D$) における接平面と法線を求めます。

(3) 点 $(\sqrt{3}/3, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ における接線の方程式は、公式から

$$$$

\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 1

$$$$

つまり

$$$$

\sqrt{3}x + y = 2

$$$$

法線は、原点と点$(\sqrt{3}/2, 1/2)$を通る直線なので、

$$$$

y = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}x = \frac{1}{\sqrt{3}}x

$$$$

つまり、

$$$$

y = \frac{\sqrt{3}}{3}x

$$$$

または、$\sqrt{3}x - 3y = 0$

(2) 平面 $Ax + By + Cz = D$ 上の点 $(p, q, r)$ における接平面は、もとの平面そのものです。なぜなら、平面の接平面は平面自身だからです。

$$$$

Ax + By + Cz = D

$$$$

法線ベクトルは$(A, B, C)$なので、法線は

$$$$

\frac{x-p}{A} = \frac{y-q}{B} = \frac{z-r}{C}

$$$$

または、

$$$$

x = p + At, y = q + Bt, z = r + Ct

$$$$

(3) 点 $(\sqrt{3}/3, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線を求める。

円の中心（原点）と点$(\sqrt{3}/3, 1)$を結ぶ直線の傾きは、$\frac{1}{\sqrt{3}/3} = \sqrt{3}$である。

接線はこれと垂直なので、傾きは$-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、接線の方程式は

$$$$

y - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{3})

$$$$

$$$$

y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{1}{3} + 1

$$$$

$$$$

y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4}{3}

$$$$

または $\sqrt{3}x + 3y = 4$

法線は、中心（原点）と点$(\sqrt{3}/3, 1)$を通る直線なので、

$$$$

y = \sqrt{3}x

$$$$

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める。

$f(x, y, z) = xy - z = 0$と置くと、

$\frac{\partial f}{\partial x} = y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = x$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

点(1, 1, 1)において、$\frac{\partial f}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

よって、接平面の方程式は、

$$$$

1(x-1) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0

$$$$

$$$$

x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0

$$$$

$$$$

x + y - z = 1

$$$$

法線は、

$$$$

\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-1}

$$$$

または、

$$$$

x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 - t

$$$$

3. 最終的な答え

(1) 接線: $\sqrt{3}x + y = 2$, 法線: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$

(2) 接平面: $Ax + By + Cz = D$, 法線: $\frac{x-p}{A} = \frac{y-q}{B} = \frac{z-r}{C}$

(3) 接線: $\sqrt{3}x + 3y = 4$, 法線: $y = \sqrt{3}x$

(4) 接平面: $x + y - z = 1$, 法線: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-1}$