半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x - y + 6 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x - y + 6 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - y + 6 = 0$ の距離が円の半径 $r$ に等しくなることを利用します。点と直線の距離の公式を用いて、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - y + 6 = 0$ の距離 $d$ を求めます。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$$$$

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

$$$$

で与えられます。

この問題では、$(x_0, y_0) = (0, 0)$、 $a = 1$, $b = -1$, $c = 6$ なので、

$$$$

d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

$$$$

円と直線が接するとき、$d = r$ なので、$r = 3\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$r = 3\sqrt{2}$