3点(4,-1), (6,3), (-3,0)を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

3点(4,-1), (6,3), (-3,0)を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が与えられた3点を通るので、それぞれの点の座標を代入して連立方程式を作る。

点(4,-1)を代入すると、

$4^2 + (-1)^2 + 4a - b + c = 0$

$16 + 1 + 4a - b + c = 0$

$4a - b + c = -17$ ...(1)

点(6,3)を代入すると、

$6^2 + 3^2 + 6a + 3b + c = 0$

$36 + 9 + 6a + 3b + c = 0$

$6a + 3b + c = -45$ ...(2)

点(-3,0)を代入すると、

$(-3)^2 + 0^2 - 3a + 0b + c = 0$

$9 - 3a + c = 0$

$-3a + c = -9$ ...(3)

(2) - (1)より、

$2a + 4b = -28$

$a + 2b = -14$ ...(4)

(1) - (3)より、

$7a - b = -8$ ...(5)

(4)より、$a = -14 - 2b$

これを(5)に代入すると、

$7(-14 - 2b) - b = -8$

$-98 - 14b - b = -8$

$-15b = 90$

$b = -6$

(4)に代入すると、

$a + 2(-6) = -14$

$a - 12 = -14$

$a = -2$

(3)に代入すると、

$-3(-2) + c = -9$

$6 + c = -9$

$c = -15$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$

$(x-1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 - 15 = 0$

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 25$

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 25$