(1) $\triangle ABC$と$\triangle DEF$が相似で、相似比が2:3である。$\triangle ABC$の面積が12平方センチメートルのとき、$\triangle DEF$の面積を求めよ。 (2) 円錐Aと円錐Bが相似で、高さの比が1:2である。円錐Bの体積が104立方センチメートルのとき、円錐Aの体積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$と$\triangle DEF$が相似で、相似比が2:3である。$\triangle ABC$の面積が12平方センチメートルのとき、$\triangle DEF$の面積を求めよ。

(2) 円錐Aと円錐Bが相似で、高さの比が1:2である。円錐Bの体積が104立方センチメートルのとき、円錐Aの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しい。

$\triangle ABC$と$\triangle DEF$の相似比は2:3なので、面積比は$2^2:3^2=4:9$となる。

$\triangle ABC$の面積が12平方センチメートルなので、$\triangle DEF$の面積を$x$とすると、

$4:9 = 12:x$

$4x = 12 \times 9$

$4x = 108$

$x = \frac{108}{4}$

$x = 27$

したがって、$\triangle DEF$の面積は27平方センチメートルである。

(2)

相似な立体の体積比は、相似比の3乗に等しい。

円錐Aと円錐Bの高さの比が1:2なので、相似比も1:2である。

したがって、体積比は$1^3:2^3=1:8$となる。

円錐Bの体積が104立方センチメートルなので、円錐Aの体積を$y$とすると、

$1:8 = y:104$

$8y = 104$

$y = \frac{104}{8}$

$y = 13$

したがって、円錐Aの体積は13立方センチメートルである。

3. 最終的な答え

(1) 27 平方センチメートル

(2) 13 立方センチメートル