3点 (4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

3点 (4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

与えられた3点の座標を代入すると、以下の3つの式が得られる。

(1) (4, -1) を代入:

$4^2 + (-1)^2 + 4a - b + c = 0$

$16 + 1 + 4a - b + c = 0$

$4a - b + c = -17$

(2) (6, 3) を代入:

$6^2 + 3^2 + 6a + 3b + c = 0$

$36 + 9 + 6a + 3b + c = 0$

$6a + 3b + c = -45$

(3) (-3, 0) を代入:

$(-3)^2 + 0^2 - 3a + 0b + c = 0$

$9 - 3a + c = 0$

$-3a + c = -9$

これらの3つの式から a, b, c の値を求める。

(2) - (1) より:

$(6a + 3b + c) - (4a - b + c) = -45 - (-17)$

$2a + 4b = -28$

$a + 2b = -14$ (4)

(3)より、$c = 3a - 9$ これを(1)に代入して

$4a - b + 3a - 9 = -17$

$7a - b = -8$　(5)

(4)より $a = -14 - 2b$ これを(5)に代入して

$7(-14 - 2b) - b = -8$

$-98 - 14b - b = -8$

$-15b = 90$

$b = -6$

(4)より

$a + 2(-6) = -14$

$a - 12 = -14$

$a = -2$

(3)より

$c = -3(-2) - 9$

$c = 6 - 9 = -3$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x - 6y - 3 = 0$

これを標準形に変形する。

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 - 3 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 13$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 13$